G* =  = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.DE GRACELI 

    EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO, NÍVEIS DE ENERGIA, do sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

Em física, a equação de campo de Einstein ou a equação Einstein é uma equação na teoria da gravitação, chamada relatividade geral, que descreve como a matéria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria. A equação do campo de Einstein se reduz à lei de Newton da gravidade no limite não-relativista, isto é, a velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.

Na equação, a gravidade se dá em termos de um tensor métrico, uma quantidade que descreve as propriedades geométricas do espaço-tempo tetradimensional. A matéria é descrita por seu tensor de energia-momento, uma quantidade que contém a densidade e a pressão da matéria. Estes tensores são tensores simétricos 4 x 4, de modo que têm 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem a 6. A força de acoplamento entre a matéria e a gravidade é determinada pela constante gravitacional universal.

Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo causada por uma massa

Solução da equação de campo de Einstein

Uma solução da equação de campo de Einstein é certa métrica apropriada para a distribuição dada da massa e da pressão da matéria. Algumas soluções para uma situação física dada são com as que se seguem.

Distribuição de massa esférica simétrica e estática

A solução para o vazio ao redor de uma distribuição de massa esférica simétrica e estática é a métrica de Schwarzschild e métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a uma estrela e conduz à previsão de um horizonte de eventos além do qual não se pode observar. Prevê a possível existência de um buraco negro de massa dada ${\displaystyle M}$ da qual não pode ser extraída nenhuma energia, no sentido clássico do termo (isto é, não é válido para o domínio da Mecânica Quântica - ver radiação de Hawking).

Ver também: Raio de Schwarzschild e Buraco negro de Schwarzschild

Massa de simetria axial em rotação

A solução para o espaço vazio ao redor de uma distribuição de massa de simetria axial em rotação é a métrica de Kerr. Se aplica a uma estrela que gire e conduz à previsão da existência possível de um buraco negro em rotação de massa dada ${\displaystyle M}$ e momento angular ${\displaystyle J}$, do qual a energia rotacional pode ser extraída.

Ver também: Buraco negro em rotação

Universo isotrópico e homogêneo

A geometria geral do universo é determinada de acordo com as equações de Friedmann e o parâmetro cosmológico Ômega se este é maior, menor ou igual a 1. De cima para baixo: um universo esférico ou fechado com curvatura positiva, um universo hiperbólico com curvatura negativa e um universo plano com curvatura nula.

A solução para um Universo isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a Métrica de Friedmann-Robertson-Walker. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolução que predizem um Universo em expansão. Em 2016, uma equipe de cosmólogos mostrou que o universo é "isotrópico", ou o mesmo, não importa maneira que é observado: Não há eixo de rotação ou qualquer outra direção especial no espaço.^[1]

Ver também: Big Bang e Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Forma matemática da equação do campo de Einstein

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde o tensor ${\displaystyle G_{\mu \nu }\ }$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, e ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de ${\displaystyle \pi }$ é Pi, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz e ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde além disso ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ }$ é o tensor de curvatura de Ricci, ${\displaystyle R}$ é o escalar de curvatura de Ricci e ${\displaystyle \Lambda }$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein

)

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar ${\displaystyle \kappa }$ do espaço é proporcional à densidade aparente ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \ }$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

${\displaystyle \Delta R=GM/(3c^{2})}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ ${\displaystyle 10^{-33}}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell

Se o tensor energia-momento ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

${\displaystyle T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

${\displaystyle R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\ }$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Mecânica clássica e mecânica quântica

A dinâmica de uma partícula pontual de massa ${\displaystyle m}$ em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana^[6][7] 

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m({\dot {q}}^{i})^{2}-V(q)}$,/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

em que ${\displaystyle (q^{i},{\dot {q}}^{i})}$ (que são respectivamente coordenadas generalizadas para a posição e a velocidade da partícula) determinam o espaço de fase do sistema e ${\displaystyle V(q)}$ é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação

${\displaystyle S=\int dtL(q,{\dot {q}})}$

encontra-se a equação de movimento para esse sistema,

${\displaystyle m{\frac {d^{2}q^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial V(q)}{\partial q^{i}}}}$,

que é a equação de Newton, desde que ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V(q)}$. 

Existe outra formulação equivalente da mecânica clássica, conhecida como formulação hamiltoniana e que pode ser diretamente relacionada a formulação lagrangiana acima. Para se fazer contato entre as duas formulações, define-se o momento  

${\displaystyle p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}}$,

de maneira que a função hamiltoniana é dada por

${\displaystyle H(q,p)=p^{i}{\dot {q}}^{i}-L(q^{i},{\dot {q}}^{i})}$,

que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se

${\displaystyle H(q,p)={\frac {(p^{i})^{2}}{2m}}+V(q)}$.

Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de ${\displaystyle H(q^{i},p^{i})}$ tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem conhecidas como equações de Hamilton 

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}},\quad {\dot {p}}^{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$,

e que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem. No formalismo hamiltoniano, usando a regra da cadeia, pode-se escrever qualquer variação temporal de uma função ${\displaystyle F=F(t;q(t);{\dot {q}}(t))}$, em termos das equações de Hamilton acima, de modo que,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {F}}&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\dot {q^{i}}}+{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\dot {p^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\{H,F\},\end{aligned}}}$

onde o parêntese de Poisson é definido como

${\displaystyle \{A,B\}={\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}}$.

Existem diversas maneiras de realizar a quantização de um sistema clássico, tais como quantização por integrais funcionais e quantização canônica. Esse último método em particular, consiste na substituição do parêntese de Poisson por comutadores^[8]

${\displaystyle \{A,B\}\to {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]}$,

onde ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$, são operadores num espaço de Hilbert. Com essas substituições, o parêntese de Poisson entre duas coordenadas generalizadas torna-se

${\displaystyle [{\hat {p}}^{i},{\hat {q}}^{j}]=-i\hbar \delta ^{ij}}$.

Um aspecto importante a ser observado é que os operadores ${\displaystyle {\hat {p}}^{i}}$ e ${\displaystyle {\hat {E}}}$ podem ser representados como os operadores diferencias

${\displaystyle {\hat {p}}^{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q^{i}}},\quad ,{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = de maneira que a função hamiltoniana, torna-se um operador no espaço de Hilbert, chamado operador hamiltoniano que atua em uma função ${\displaystyle \psi (q,t)}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$,/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 





Equação genérica: materiais isotrópicos

Nos materiais isotrópicos pode-se calcular a variação de comprimento, e consequentemente de área e volume, em função da variação de temperatura:

${\displaystyle \Delta L=\alpha \cdot L_{0}\cdot \Delta T}$/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

• ${\displaystyle \Delta L:\ }$variação do comprimento;
• ${\displaystyle \alpha :\ }$coeficiente de dilatação linear;
• ${\displaystyle L_{0}:\ }$comprimento inicial;
• ${\displaystyle \Delta T=T-T_{0}:\ }$variação de temperatura.